Задача, ставившая математиков в тупик почти столетие, наконец решена

Задача Рамсея одна из самых сложных и древних проблем в комбинаторике, разделе математики, изучающем способы выбора и распределения объектов. Она связана с поиском порядка и регулярности в хаотичных и случайных структурах, таких как графы, числа или геометрические фигуры. Одним из примеров такой задачи является вопрос: сколько человек нужно пригласить на вечеринку, чтобы гарантированно найти четырех человек, которые знакомы друг с другом или четырех человек, которые незнакомы ни с кем? Это число называется числом Рамсея и обозначается как r (4,4).


Числа Рамсея очень трудно найти, так как они растут очень быстро с увеличением количества людей или групп. Например, известно, что r (3,3) 6, то есть на вечеринке из шести человек всегда найдутся три человека, которые знакомы между собой, или три незнакомых ни с кем человека. Также известно, что r (4,4) 18, то есть на вечеринке из 18 человек всегда найдутся четыре человека, которые знают друг друга, или четыре человека, которые не знают друг друга. Однако r (5,5) до сих пор неизвестно, и его значение лежит где-то между 43 и 49.

Два математика из Сан-Диего, Жак Верстраете и Сэм Маттеус, сделали значительный прогресс в решении одной из вариаций задачи Рамсея, которая называется r (4, t). Эта задача спрашивает: сколько человек нужно пригласить на вечеринку, чтобы гарантированно найти четырех человек, которые знакомы, или t гостей, которые не знают друг друга? Эта задача была предложена в 1930-х годах венгерским математиком Полем Эрдешем, который обещал приз в 250 долларов за ее решение.

Верстраете и Маттеус нашли приближенное решение для r (4, t), используя понятие псевдослучайных графов, которые выглядят случайными, но имеют некоторые скрытые свойства. Они показали, что r (4, t) примерно равно t³, то есть на вечеринке из t³ человек всегда найдутся четыре знакомых между собой человека, или t человек, которые не знают друг друга. Это решение является лучшей известной оценкой для r (4, t) и улучшает предыдущий результат, полученный в 1989 году.


—Жак Верстраете.

На первый взгляд кажется, что решение задачи заняло практически век, однако, когда речь идет о теории графов, внешность может быть обманчивой. Например, при решении r (5,5) при известном диапазоне ответов от 40 до 50, если начать с 45 точек на графе, потребуется целых 10 234 комбинации.




— Жак Верстраете.

Этот прорыв является важным шагом в понимании теории Рамсея и ее приложений в разных областях математики, таких как теория чисел, теория кодирования, криптография и теория игр. Он также демонстрирует, что даже самые сложные и давние задачи могут быть решены с помощью новых идей и современных методов.